Projektowanie urządzeń do rozsączania wód deszczowych

Planowanie obiektów do rozsączania wód opadowych wymaga kwalifikowanej analizy poziomów zwierciadła wody gruntowej. Zaproponowana metodyka stochastycznej aproksymacji poziomów zwierciadła wody gruntowej zapewnia dokładną analizę poziomów wód gruntowych dla potrzeb projektowania obiektów gospodarki wodami opadowymi.

Od wielu lat projektanci rozwiązywali problem wód opadowych z powierzchni utwardzonych oraz dachów poprzez wprowadzanie ich do sieci kanalizacyjnych. W międzyczasie miała miejsce jednak istotna zmiana poglądów na ten temat, która polegała na rozszczelnieniu powierzchni utwardzonych i rozsączaniu wód opadowych do podłoża gruntowego. Celem tych zmian była gospodarka wodami opadowymi, przywracająca naturalny obieg wody w przyrodzie oraz zasilająca zasoby wód gruntowych. Dlatego też jednym z istotnych aspektów projektowania obiektów służących do rozsączania wód opadowych jest kwalifikowana analiza poziomów zwierciadła wody gruntowej.

W niniejszej publikacji przedstawiono statystyczno-stochastyczną metodykę prognozowania stanów wód gruntowych dla potrzeb projektowania urządzeń do rozsączania wód opadowych. Danymi empirycznymi, stanowiącymi bazę danych, są wieloletnie obserwacje poziomów wody gruntowej w ramach jednego z kilku piezometrów zlokalizowanych na terenie bawarskiej gminy Oberhaching, a eksploatowanych przez Związek Celowy (pn. Zweckverband zur Abwasserbeseitigung im Hachinger Tal). Próba losowa będąca bazą modelowania statystyczno-stochastycznego składała się z 96 obserwacji (pomiarów), które zostały przeprowadzone w okresie od 2006 do 2012 r. [7]. Duża populacja oraz jednorodność tej próby losowej gwarantowały uzyskanie miarodajnych wyników planowanych badań. Z analizy danych wynika, że w okresie pomiarowym najwyższy poziom wody gruntowej wystąpił 0,68 m poniżej poziomu terenu, a najniższy 2,69 m. W związku z tym maksymalna różnica poziomów wynosiła 2,0 m.

Analiza statystyczna danych

W pierwszej fazie badań dane empiryczne zostały posortowane i poddane standardowej analizie statystycznej. Na wstępie ustalono empiryczną funkcję gęstości f*(xi) oraz funkcję rozkładu F*(xi). Natomiast do teoretycznej interpretacji danych empirycznych wykorzystano rozkład eksponencjalny, aby przede wszystkim uprościć i skrócić obliczeniowe cykle planowanego modelowania stochastycznego metodą Monte-Carlo.

Rozkład eksponentialny jest jednoparametrowym, pozbawionym pamięci rozkładem prawdopodobieństwa opisującym duże łańcuchy dodatnich liczb rzeczywistych. Należy on do grupy rozkładów opisujących żywotność obiektów nieulegających procesom starzenia się i jest zdefiniowany przez parametr λ. Do typowych zastosowań tego rozkładu należą takie eksponentialnie rozłożone wielkości losowe jak długości rozmów telefonicznych oraz długości rozpadów radioaktywnych. Funkcje tego rozkładu sprawdziły się szczególnie w przypadku modelowania problemów teorii niezawodności i dlatego postanowiono zastosować ten rozkład do statystycznej analizy poziomów zwierciadła wody gruntowej. Przebiegi funkcji gęstości i funkcji rozkładu w zależności od wartości parametru λ przedstawiono na rysunku 1 i 2 [6].

Raganowicz204rys2 Raganowicz204rys1

Funkcję eksponencjalnie rozłożonej zmiennej losowej dla λ > 0 można zapisać w postaci formuły [3, 6]:

F(xi) = 1-exp(-l * xi) (1),

gdzie xi > 0.

Graf funkcji rozkładu zmierza rosnąco do wartości równej jedności. Funkcję gęstości można zapisać:

f(xi) = l * exp(-l * xi) (2),

gdzie xi > 0.

Funkcja niezawodności jest komplementarna do funkcji rozkładu:

R(xi) = 1 – F(xi) (3).

Natomiast wskaźnik zawodności przyjmuje w przypadku rozkładu eksponencjalnego stałą wartość równą λ:

r(xi) = f(xi)/[1-F(xi)] = l (4).

Do dalszych charakterystycznych wartości tego rozkładu należą: wartość oczekiwana, wariancja oraz odchylenie standardowe.

E(xi) = 1/l (5),

Var(xi) = 1/l2 (6),

s = 1/l (7).

Parametr λ, inaczej zwany parametrem intensywności rozkładu, można wyznaczyć w oparciu o następującą formułę:

l = 1/[1/n*Sxi] = 1/xi (8).

Na bazie danych wchodzących w skład badanej próby losowej wyznaczono parametr intensywności, który osiągnął wartość λ = 0,5865. W oparciu o ten parametr oraz formułę (3) można było już wyznaczyć teoretyczną funkcję niezawodności:

R(xi) = exp(-05865*xi) (9),

gdzie xi – odległość między poziomem zwierciadła wody gruntowej i terenu.

Forma teoretycznej funkcji niezawodności powinna być zbliżona do formy funkcji dla parametru λ = 0,5, która jest przedstawiona na rysunku 1.

Dokładność statystycznej aproksymacji zależy przede wszystkim od liczebności próby losowej oraz wiarygodności danych. Badana próba losowa składa się z n = 96 > 50 pomiarów, co pozwala na stwierdzenie, że udokumentowane poziomy zwierciadła wody gruntowej są miarodajne dla obszaru lokalizacji piezometru. Porównanie empirycznej i teoretycznej funkcji niezawodności wykazało wystarczające zbliżenie.

W celu uzyskania jeszcze większej dokładności estymacji parametru λ postanowiono zastosować symulacje matematyczne według metody inwersji. Metodyka ta należy do dużej rodziny metod Monte-Carlo. Zaletą tego systemu jest możliwość „zastąpienia” danych empirycznych, których liczebność jest z reguły niewielka, przez dowolną liczbę danych uzyskanych na bazie symulacji matematycznych. Metoda ta wymaga jednak długich i niepowtarzalnych łańcuchów liczb losowych o konkretnym rozkładzie, które umożliwiają przeprowadzenie bardzo dużej liczby symulacji.

Estymacja parametru λ

Pojęcie MMC (Monte-Carlo) nie odnosi się do konkretnego algorytmu, ale do całej grupy metod numerycznych, które w oparciu o liczby losowe umożliwiają aproksymacje czy symulacje różnych procesów fizycznych, chemicznych, a także produkcyjnych. Monte-Carlo jest jedną z niewielu metod, która w ramach rozsądnego czasu obliczeniowego umożliwia uzyskanie dobrych wyników symulacji matematycznych.

Dla potrzeb estymacji parametru λ została zastosowana tak zwana metoda inwersji. Pozwala ona symulować wartości x1, …, xn według zadanej funkcji rozkładu F. Skoro funkcja F: R -> [0;1] przyjmuje wartości w przedziale od 0 do 1, to można do funkcji odwrotnej F-1 wprowadzić wartości mieszczące się w przedziale Y = U(0;1) i będące zmiennymi losowymi o równomiernym rozkładzie, a następnie symulować X: = F-1(Y). W związku z tym, że X=Y, to funkcja rozkładu zmiennych losowych X jest rzeczywiście funkcją F [3, 4, 6]. W przypadku funkcji ekspotencjalnej poziomu zwierciadła wody gruntowej można symulować zgodnie z formułą [2, 5]:

xk*i = (1/l)*lnUk*i (10);

gdzie: i = 1, 2, …., n;

k* = 1, 2, ….., N;

xk*i – symulowany poziom wody gruntowej, m;

l – wartość parametru według estymacji statystycznej;

Uk*i – zmienne losowe o równomiernym rozkładzie (0 < Uk*i < 1).

Pozyskanie długich niepowtarzających się łańcuchów zmiennych losowych, w rzeczywistości pseudolosowych, o równomiernym rozkładzie wymaga zastosowania odpowiedniego generatora liczb losowych. Dla potrzeb estymacji parametru λ zastosowano generator o nazwie Multiplicative Linear Congruential Generator [4].

W ramach modelowania stochastycznego przeprowadzono 1000, 2500, 5000, 10 000 i nawet 15 000 symulacji matematycznych. Do generowania wartości zastosowano uprzednio opracowane i przetestowane następujące algorytmy:

– MMC(1000): x1 = 3000, x2 = 3000 + 58,…,x1000 = 3000 + 999*58

– MMC(2500): x1 = 1500, x2 = 1500 + 22,…,x2500 = 1500 + 2499*22

– MMC(5000): x1 = 1500, x2 = 1500 + 12,…,x2500 = 1500 + 4999*12

– MMC(10 000): x1 = 500, x2 = 500 + 6,…,x10 000 = 500 + 9999*6

– MMC(15 000): x1 = 500, x2 = 500 + 3,…,x10 000 = 500 + 9999*3

Na podstawie uzyskanych danych z symulacji matematycznych ustalono wartość parametru λ w oparciu o formułę (8). Wyniki modelowania stochastycznego przedstawiono w tabeli.

Raganowicz204tab

Dyskusja wyników badań

Przeprowadzone symulacje matematyczne wykazały, że parametr λ przyjął wartości w przedziale od 0,6011 do 0,6921. Dopiero od 10 000 symulacji wystąpiła wyraźna tendencja zbliżania się λ do wartości poszukiwanej. Seria 15 000 symulacji spowodowała niewielką zmianę parametru λ, która zaznaczyła się dopiero na czwartym miejscu po przecinku. Z tego powodu można przyjąć, że seria 10 000 symulacji gwarantuje wystarczającą dokładność aproksymacji parametru λ. Zmiany λ w zależności od liczby symulacji przedstawiono na rysunku 3.

Raganowicz204-3

W celu przeprowadzenia dalszych badań modelowych poziomu zwierciadła wody gruntowej przyjęto dla λ wartość równą 0,6097, która została ustalona w oparciu o serię 10 000 symulacji.

Różnica wartości λ wyznaczonej konwencjonalną metodą analityczną i stochastyczną wyniosła Δλ = 0,0232. Tak więc stochastyczne zwiększenie liczebności badanej próby losowej doprowadziło do symbolicznej korekty parametru λ.

Przeprowadzona aproksymacja poziomu zwierciadła wody gruntowej metodą Monte-Carlo pozwoliła ustalić miarodajną funkcję niezawodności w postaci formuły:

R(xi) = exp(-0,6097 *xi) (11);

gdzie xi – odległość między poziomem zwierciadła wody gruntowej oraz terenu.

Teoretyczna funkcja niezawodności według metody Monte-Carlo opisuje granicę między dwoma obszarami. Powierzchnia znajdująca się powyżej tej krzywej jest zarezerwowana dla prawdopodobieństwa, z jakim może wystąpić konkretny poziom zwierciadła wody gruntowej. Natomiast powierzchnia poniżej krzywej reprezentuje prawdopodobieństwo niezawodnego funkcjonowania obiektu rozsączającego wody opadowe do podłoża gruntowego.

Analiza teoretycznej funkcji niezawodności przedstawionej na rysunku 4 pozwala na sformułowanie istotnych wniosków na temat badanych poziomów zwierciadła wody gruntowej. Ze standardowym, 50% prawdopodobieństwem można powiedzieć, że poziom zwierciadła wody gruntowej wystąpi 1,33 m poniżej poziomu terenu. Natomiast wartość oczekiwana wynosi EW = 1,64 m, co odpowiada średniej głębokości zwierciadła wody gruntowej. Wartość ta może być wykorzystana ewentualnie do wstępnej fazy projektowania urządzenia rozsączającego wody opadowe. Przyjęcie średniej głębokości poziomu zwierciadła wody gruntowej może, w przypadku intensywnego opadu, doprowadzić do poważnego ograniczenia funkcjonalności obiektu.

W następnej fazie analizy przyjęto wyższy poziom zwierciadła wody gruntowej, na przykład 0,83 m, którego prawdopodobieństwo wystąpienia wynosi 40%. Z kolei dopełnienie do 100% wynoszące 60% jest prawdopodobieństwem niezawodności funkcjonowania obiektu. Przyjęcie tego poziomu zwierciadła wody gruntowej wymaga przy zachowaniu odpowiedniej odległości między zwierciadłem wody gruntowej a spodem obiektu jego płytkiego posadowienia. Fakt ten może mieć poważne konsekwencje dla wymiarowania planowanego obiektu do rozsączania wód opadowych. Przeprowadzona analiza wykazała, że zwiększenie niezawodności działania urządzenia rozsączającego wody opadowe o 10% jest związane z podniesieniem się poziomu zwierciadła wody gruntowej aż o 0,5 m, co ma istotne konsekwencje w zakresie technicznych rozwiązań tego typu obiektów.

Decyzję dotyczącą wyboru projektowego poziomu zwierciadła wody gruntowej należy przede wszystkim uzależnić od niezawodności funkcjonalnej projektowanego obiektu, ale także wziąć pod uwagę uwarunkowania lokalne. Problem wyboru miarodajnego poziomu zwierciadła wody gruntowej jest szczególnie ważny w dobie intensywnych opadów atmosferycznych. Doświadczenia ze zlewni cieku Hachinger Bach, w której zlokalizowany jest badany piezometr, wykazały, że amplituda wahań poziomu zwierciadła wody gruntowej może dochodzić nawet do 2,0 m w okresie 24 godzin. W związku z tym zaproponowana powyżej metodyka modelowania stanowi dobrą bazę do analizowania stanów wody gruntowej w kontekście niezawodności funkcjonowania obiektu do rozsączania wód opadowych do podłoża gruntowego.

Konkluzja

Przedstawione w niniejszej publikacji badania wykazały, że metodyka statystyczno-stochastycznego modelowania jest praktyczną metodą ustalania miarodajnego poziomu zwierciadła wody gruntowej dla potrzeb projektowania obiektów służących do rozsączania ścieków deszczowych. Wyznaczenie teoretycznej funkcji niezawodności pozwala na analizę stanów wody gruntowej w aspekcie specyficznych warunków lokalnych oraz niezawodności projektowanego obiektu.

Doświadczenia zebrane w ramach eksploatacji obiektów gospodarki deszczowej w zlewni cieku Hachinger Tal wykazały, że przyjęcie średniego poziomu zwierciadła wody gruntowej (tak zwanej wartości oczekiwanej) nie gwarantuje ich niezawodnej eksploatacji. Intensywne opady atmosferyczne, które wystąpiły w ostatnim dziesięcioleciu, spowodowały, że obiekty te utraciły swoją funkcjonalność i doszło do lokalnego podtopienia terenu. W związku z tym należy przyjmować do wymiarowania obiektów rozsączających wyższe, mniej prawdopodobne poziomy zwierciadła wody gruntowej, które zapewniają ich pewniejsze funkcjonowanie.

Zaproponowane modelowanie charakteryzuje duża i uniwersalna aplikacyjność. Każda realna dokumentacja odczytów stanów wody gruntowej może być bazą danych do przeprowadzenia opisanych badań modelowych. Statystyczna wartość takiej próby losowej zależy od jej liczebności i realności danych. Kombinacja rozkładu eksponentialnego ze stochastycznym szacowaniem parametru λ okazała się skuteczną metodą wyznaczania teoretycznej funkcji niezawodności umożliwiającej intensywną analizę stanów zwierciadła wody gruntowej. W czasie ocieplania się klimatu powodującego występowanie opadów atmosferycznych o niespotykanej do tej pory intensywności jest to skuteczna metoda ustalania miarodajnego poziomu zwierciadła wody gruntowej dla potrzeb projektowania obiektów służących do zagospodarowania wód deszczowych.

dr inż. Andrzej Raganowicz

Literatura:

[1] Arbeitsblatt DWA-A 138, Planung, Bau und Betreib von Anlagen zur Versickerung von Niederschlagswasser, April 2005.

[2] Cottin C., Döhler S.: Risikoanalyse – Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen, 2. Auflage, Springer Spektrum Wiesbaden 2009, 2013.

[3] Grabowski B.: II. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Vorlesungsmitschrift – Kurzfassung, HTW Saarlandes 2005.

[4] Leisch F.: Computerintensive Methoden, LMU München, WS 2010/2011, 8 Zufallszahlen.

[5] Müller-Gronbach T., Novak E., Ritter K.: Monte Carlo – Algorithmen, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012.

[6] Wilker H.: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte, Verlag: Books on Demand GmbH, Norderstedt 2004.

[7] Zweckverband zur Abwasserbeseitigung im Hachinger Tal: Dokumentation der Grundwasserstände, Messstelle zentrale Pumpstation im Gleißental in Oberhaching, 2006-2012.

Wykaz rysunków:

Rys. 1. Funkcje rozkładu według modelu eksponencjalnego [6].

Rys. 2. Funkcje gęstości według modelu eksponencjalnego [6].

Rys. 3. Zmiany parametru λ w zależności od liczby symulacji.

Prenumerata Magazynu Instalatora

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Ta strona korzysta z ciasteczek (cookies) Więcej informacji

Ustawienia plików cookie na tej stronie są włączone na "zezwalaj na pliki cookie", aby umożliwić najlepszy z możliwych sposób przeglądania. Jeśli w dalszym ciągu chcesz korzystać z tej strony, bez zmiany ustawienia plików cookie lub kliknięciu przycisku "Akceptuję", a następnie użytkownik wyraża zgodę na to.

Zamknij